6 Aufgaben mit Finanzanwendungen — Schritt-fuer-Schritt-Loesungen mit ausfuehrlichen Erklaerungen
Aufgaben 1–4 — Portfolio-Analyse und lineare Algebra
Wir multiplizieren jeden Eintrag von \(\vec{r}_1\) mit dem Gewicht \(w_1 = 0{,}6\):
\[w_1 \vec{r}_1 = 0{,}6 \cdot \begin{pmatrix} 0{,}05 \\ 0{,}12 \\ -0{,}03 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 \cdot 0{,}05 \\ 0{,}6 \cdot 0{,}12 \\ 0{,}6 \cdot (-0{,}03) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}030 \\ 0{,}072 \\ -0{,}018 \end{pmatrix}\]
Analog multiplizieren wir \(\vec{r}_2\) mit \(w_2 = 0{,}4\):
\[w_2 \vec{r}_2 = 0{,}4 \cdot \begin{pmatrix} 0{,}03 \\ 0{,}08 \\ 0{,}02 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}4 \cdot 0{,}03 \\ 0{,}4 \cdot 0{,}08 \\ 0{,}4 \cdot 0{,}02 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}012 \\ 0{,}032 \\ 0{,}008 \end{pmatrix}\]
Komponentenweise Addition:
\[\vec{R} = \begin{pmatrix} 0{,}030 \\ 0{,}072 \\ -0{,}018 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0{,}012 \\ 0{,}032 \\ 0{,}008 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}030 + 0{,}012 \\ 0{,}072 + 0{,}032 \\ -0{,}018 + 0{,}008 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}042 \\ 0{,}104 \\ -0{,}010 \end{pmatrix}\]
Szenario 1: Das Portfolio erzielt \(4{,}2\%\) Rendite.
Szenario 2: Das Portfolio erzielt \(10{,}4\%\) Rendite (bestes Szenario).
Szenario 3: Das Portfolio erleidet \(-1{,}0\%\) — einen leichten Verlust.
Durch die Mischung (60/40) wird der Verlust in Szenario 3 abgemildert: Anlage 1 allein haette \(-3\%\) verloren!
Ein Portfolio mischt verschiedene Anlagen. Die Gewichte \(w_1\) und \(w_2\) sagen, wie viel Geld (prozentual) in welche Anlage fliesst. Hier: 60% in Anlage 1, 40% in Anlage 2. Die gewichtete Summe zeigt, wie sich das Gesamtportfolio in jedem Szenario verhaelt. Das ist die Grundlage der modernen Portfoliotheorie (Markowitz)!
Jeden Eintrag von \(\vec{v}_1\) mit 2 multiplizieren:
\[2\vec{v}_1 = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}\]
Jeden Eintrag von \(\vec{v}_2\) mit 3 multiplizieren:
\[3\vec{v}_2 = 3 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\]
\[\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 12 \\ -4 + 0 \\ 6 + (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}\]
Eine lineare Kombination gewichtet und addiert Vektoren — das ist die zentrale Operation der linearen Algebra. In der Finanzwelt kombiniert man so verschiedene Risikofaktoren (z.B. Zinsrisiko, Waehrungsrisiko, Marktrisiko) zu einem Gesamtrisiko-Profil. Die Skalare (hier 2 und 3) geben an, wie stark jeder Faktor zum Gesamtrisiko beitraegt.
Zuerst berechnen wir das Matrix-Vektor-Produkt \(\Sigma \vec{w}\). Jede Zeile der Matrix wird mit dem Vektor \(\vec{w}\) skalar multipliziert:
Zeile 1:
\[0{,}04 \cdot 0{,}7 + 0{,}006 \cdot 0{,}3 = 0{,}028 + 0{,}0018 = 0{,}0298\]
Zeile 2:
\[0{,}006 \cdot 0{,}7 + 0{,}09 \cdot 0{,}3 = 0{,}0042 + 0{,}027 = 0{,}0312\]
\[\Sigma \vec{w} = \begin{pmatrix} 0{,}0298 \\ 0{,}0312 \end{pmatrix}\]
Nun das Skalarprodukt \(\vec{w}^{\,T} \cdot (\Sigma \vec{w})\):
\[R = \vec{w}^{\,T} \cdot \begin{pmatrix} 0{,}0298 \\ 0{,}0312 \end{pmatrix} = 0{,}7 \cdot 0{,}0298 + 0{,}3 \cdot 0{,}0312\]
\[R = 0{,}02086 + 0{,}00936 = 0{,}03022\]
Die Volatilitaet ist die Wurzel der Varianz:
\[\sigma = \sqrt{R} = \sqrt{0{,}03022} \approx 0{,}1738 = 17{,}38\%\]
Die Portfolio-Varianz betraegt \(R = 0{,}03022\).
Die Volatilitaet (Standardabweichung) betraegt \(\sigma \approx 17{,}38\%\).
Das bedeutet: Die Renditen des Portfolios schwanken typischerweise um \(\pm 17{,}38\%\) um den Erwartungswert.
Vergleich: Anlage 1 allein hat \(\sigma_1 = \sqrt{0{,}04} = 20\%\), Anlage 2 hat \(\sigma_2 = \sqrt{0{,}09} = 30\%\). Das Portfolio (17,38%) schwankt weniger als beide Einzelanlagen — das ist der Diversifikationseffekt!
Die Formel \(\vec{w}^{\,T} \Sigma \vec{w}\) ist die zentrale Formel der Portfoliotheorie. Sie berechnet, wie stark das Gesamtportfolio schwankt. Die Varianz-Kovarianz-Matrix \(\Sigma\) enthaelt auf der Diagonale die Varianzen (Einzelrisiken) und in den Nebendiagonalen die Kovarianzen (Beziehungen zwischen den Anlagen). Wenn Anlagen nicht perfekt korreliert sind, ist das Portfoliorisiko kleiner als der gewichtete Durchschnitt — man kann Risiko durch Mischung reduzieren!
Die erste Zeile von \(A\) wird mit \(\vec{p}\) skalar multipliziert:
\[p'_1 = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 2 + 2 = 4\]
Die zweite Zeile von \(A\) wird mit \(\vec{p}\) skalar multipliziert:
\[p'_2 = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 1 + 6 = 7\]
\[\vec{p}' = A\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}\]
Das urspruengliche Portfolio \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) wird durch die Marktaenderung zu \(\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}\) transformiert.
Beide Positionen wachsen, aber die zweite Position waechst staerker (von 2 auf 7), weil der Faktor 3 in der zweiten Zeile sie verstaerkt.
Die Matrix \(A\) repraesentiert eine lineare Transformation. In der Praxis koennte \(A\) eine Aenderung der Marktbedingungen darstellen — z.B. wie sich Sektorgewichte verschieben, wenn sich Zinsen aendern. Matrix-Vektor-Multiplikation ist die Grundoperation: Jede Komponente des Ergebnisses ist ein Skalarprodukt einer Matrixzeile mit dem Eingabevektor. So transformiert die Matrix den gesamten Vektor auf einmal.
Aufgaben 5–6 — Gausssche Zahlenebene, Normalform und Polarform
Betrag:
\[|z_1| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3{,}606\]
Argument: Da \(z_1\) im 1. Quadranten liegt (Re > 0, Im > 0), gilt direkt:
\[\varphi_1 = \arctan\!\left(\frac{2}{3}\right) \approx 0{,}588 \text{ rad} \approx 33{,}69°\]
Polarform:
\[z_1 = \sqrt{13} \cdot e^{i \cdot 0{,}588} \approx 3{,}606 \cdot e^{i \cdot 0{,}588}\]
Betrag:
\[|z_2| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}472\]
Argument: Da \(z_2\) im 2. Quadranten liegt (Re < 0, Im > 0), muessen wir \(\pi\) addieren:
\[\varphi_2 = \pi - \arctan\!\left(\frac{4}{2}\right) = \pi - \arctan(2) \approx \pi - 1{,}107 \approx 2{,}034 \text{ rad} \approx 116{,}57°\]
Polarform:
\[z_2 = 2\sqrt{5} \cdot e^{i \cdot 2{,}034} \approx 4{,}472 \cdot e^{i \cdot 2{,}034}\]
Betrag:
\[|z_3| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3{,}162\]
Argument: Da \(z_3\) im 4. Quadranten liegt (Re > 0, Im < 0), ist der Winkel negativ:
\[\varphi_3 = -\arctan\!\left(\frac{3}{1}\right) = -\arctan(3) \approx -1{,}249 \text{ rad} \approx -71{,}57°\]
Alternativ als positiver Winkel: \(360° - 71{,}57° = 288{,}43°\)
Polarform:
\[z_3 = \sqrt{10} \cdot e^{-i \cdot 1{,}249} \approx 3{,}162 \cdot e^{-i \cdot 1{,}249}\]
Der Winkel \(\varphi\) haengt vom Quadranten ab:
1. Quadrant (Re > 0, Im > 0): \(\varphi = \arctan\!\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right)\)
2. Quadrant (Re < 0, Im > 0): \(\varphi = \pi - \arctan\!\left(\frac{|\text{Im}|}{|\text{Re}|}\right)\)
3. Quadrant (Re < 0, Im < 0): \(\varphi = -\pi + \arctan\!\left(\frac{|\text{Im}|}{|\text{Re}|}\right)\)
4. Quadrant (Re > 0, Im < 0): \(\varphi = -\arctan\!\left(\frac{|\text{Im}|}{|\text{Re}|}\right)\)
\(z_1 = \sqrt{13}\,e^{i \cdot 0{,}588} \approx 3{,}606\,e^{i \cdot 33{,}69°}\)
\(z_2 = 2\sqrt{5}\,e^{i \cdot 2{,}034} \approx 4{,}472\,e^{i \cdot 116{,}57°}\)
\(z_3 = \sqrt{10}\,e^{-i \cdot 1{,}249} \approx 3{,}162\,e^{-i \cdot 71{,}57°}\)
Die Normalform \(a + bi\) ist gut fuer Addition und Subtraktion. Die Polarform \(r \cdot e^{i\varphi}\) ist besser fuer Multiplikation und Potenzen, weil sich Betraege multiplizieren und Winkel addieren: \(z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \cdot e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}\). In der Signalverarbeitung und Elektrotechnik arbeitet man fast ausschliesslich mit der Polarform!
Betrag:
\[|z_1| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\]
Argument (Radiant):
Im 1. Quadranten (Re > 0, Im > 0) gilt direkt:
\[\arg(z_1) = \arctan\!\left(\frac{3}{4}\right) = \arctan(0{,}75) \approx 0{,}6435 \text{ rad}\]
Winkel in Grad:
\[\varphi_1 = 0{,}6435 \cdot \frac{180°}{\pi} \approx 36{,}87°\]
Betrag:
\[|z_2| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1{,}414\]
Argument (Radiant):
Im 2. Quadranten (Re < 0, Im > 0) muessen wir von \(\pi\) subtrahieren:
\[\arg(z_2) = \pi - \arctan\!\left(\frac{|1|}{|-1|}\right) = \pi - \arctan(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \approx 2{,}356 \text{ rad}\]
Winkel in Grad:
\[\varphi_2 = \frac{3}{4} \cdot 180° = 135°\]
Warum reicht \(\arctan\) allein nicht? Weil \(\arctan\) nur Werte zwischen \(-90°\) und \(+90°\) liefert (1. und 4. Quadrant). Fuer den 2. und 3. Quadranten muessen wir korrigieren:
1. Quadrant (Re > 0, Im > 0): \(\varphi = \arctan\!\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right)\) — direkt
2. Quadrant (Re < 0, Im > 0): \(\varphi = \pi - \arctan\!\left(\frac{|\text{Im}|}{|\text{Re}|}\right)\) — Winkel zwischen 90° und 180°
3. Quadrant (Re < 0, Im < 0): \(\varphi = -\pi + \arctan\!\left(\frac{|\text{Im}|}{|\text{Re}|}\right)\) — Winkel zwischen -180° und -90°
4. Quadrant (Re > 0, Im < 0): \(\varphi = -\arctan\!\left(\frac{|\text{Im}|}{|\text{Re}|}\right)\) — Winkel zwischen -90° und 0°
Tipp: Viele Programmiersprachen bieten atan2(Im, Re), das die Quadranten automatisch beruecksichtigt!
(a) \(|z_1| = 5\), \(\arg(z_1) \approx 0{,}6435\) rad \(\approx 36{,}87°\)
(b) \(|z_2| = \sqrt{2} \approx 1{,}414\), \(\arg(z_2) = \frac{3\pi}{4} \approx 2{,}356\) rad \(= 135°\)
Der Betrag \(|z|\) gibt den Abstand vom Ursprung — er beschreibt die "Groesse" der komplexen Zahl. Das Argument \(\arg(z)\) gibt die Richtung an. Zusammen definieren sie die Zahl eindeutig in Polarkoordinaten: \(z = |z| \cdot e^{i \cdot \arg(z)}\). In der Physik entspricht der Betrag der Amplitude und das Argument der Phase einer Schwingung.