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Komplexe Zahlen: Uebungen mit Loesungen

5 Aufgaben zu Normalform und Polarform — mit Schritt-fuer-Schritt-Loesungen und Gauss-Diagrammen

Fortschritt:
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1 Normalform
✓ Geloest
Aufgabe
Gegeben: \(z_1 = 3 + 4i\) und \(z_2 = -1 + 2i\).
Berechnen Sie:
(a) \(z_1 + z_2\)    (b) \(|z_1|\)    (c) \(\overline{z_1}\)
Teil (a): Addition

Realteil und Imaginaerteil getrennt addieren:

\[z_1 + z_2 = (3 + (-1)) + (4 + 2)i = 2 + 6i\]

Teil (b): Betrag

Der Betrag berechnet sich mit dem Satz des Pythagoras:

\[|z_1| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Teil (c): Konjugation

Vorzeichenwechsel beim Imaginaerteil:

\[\overline{z_1} = 3 - 4i\]

Ergebnis
(a) \(z_1 + z_2 = 2 + 6i\)    (b) \(|z_1| = 5\)    (c) \(\overline{z_1} = 3 - 4i\)
Re Im -1 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 |z1| = 5 z1 = 3+4i z2 = -1+2i z1+z2 = 2+6i
Gauss-Ebene: z1 (lila), z2 (blau), z1+z2 (gruen) mit Parallelogrammregel. Gestrichelter Kreis: |z1| = 5.
2 Normalform
✓ Geloest
Aufgabe
Berechnen Sie \((2 + 3i) \cdot (1 - i)\).
Schritt 1: Ausmultiplizieren

Wir wenden die Distributivregel an (jeder Term mit jedem):

\[(2+3i)(1-i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 1 + 3i \cdot (-i)\]

Schritt 2: Vereinfachen

\[= 2 - 2i + 3i - 3i^2\]

Schritt 3: i² = -1 einsetzen

Da \(i^2 = -1\) gilt:

\[= 2 - 2i + 3i - 3 \cdot (-1) = 2 + i + 3 = 5 + i\]

Ergebnis
\((2 + 3i) \cdot (1 - i) = 5 + i\)
Re Im 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 -1 z1 = 2+3i z2 = 1-i z1 · z2 = 5+i Multiplikation: Betraege multiplizieren, Winkel addieren
Gauss-Ebene: Faktoren z1 (lila) und z2 (blau) sowie das Produkt (gruen).
3 Polarform
✓ Geloest
Aufgabe
Rechnen Sie \(z = 1 + \sqrt{3}\,i\) in Polarform um: \(z = r \cdot e^{i\varphi}\).
Schritt 1: Betrag berechnen

\[r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\]

Schritt 2: Argument (Winkel) bestimmen

\[\tan(\varphi) = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\]

Da \(z\) im 1. Quadranten liegt (\(\text{Re} > 0\), \(\text{Im} > 0\)):

\[\varphi = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} = 60°\]

Schritt 3: Polarform aufschreiben

\[z = 2 \cdot e^{i\pi/3}\]

Ergebnis
\(z = 1 + \sqrt{3}\,i = 2 \cdot e^{i\pi/3}\)
Re Im 0 1 2 3 1 2 60° = π/3 z = 1+√3 i r = 2 Re = 1 Im = √3
Polarform: Betrag r = 2 und Argument φ = π/3 (60°) in der Gauss-Ebene.
4 Polarform
✓ Geloest
Aufgabe
Gegeben: \(z_1 = 2e^{i\pi/6}\) und \(z_2 = 3e^{i\pi/3}\).
Berechnen Sie \(z_1 \cdot z_2\).
Schritt 1: Betraege multiplizieren

\[|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 2 \cdot 3 = 6\]

Schritt 2: Argumente addieren

\[\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\]

Schritt 3: Ergebnis in Polarform

\[z_1 \cdot z_2 = 6 \cdot e^{i\pi/2}\]

In Normalform: \(6 \cdot e^{i\pi/2} = 6(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}) = 6(0 + i) = 6i\)

Das Ergebnis zeigt senkrecht nach oben!

Ergebnis
\(z_1 \cdot z_2 = 6e^{i\pi/2} = 6i\)
Re Im 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 -1 30° 60° 90° z1: r=2, 30° z2: r=3, 60° z1·z2 = 6i r=6, 90° Betraege multiplizieren (2·3=6), Winkel addieren (30°+60°=90°)
Multiplikation in Polarform: Betraege werden multipliziert, Argumente addiert.
5 Polarform
✓ Geloest
Aufgabe
Berechnen Sie \((1+i)^8\).
Schritt 1: In Polarform umrechnen

Fuer \(z = 1 + i\):

\[r = |1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\]

\[\varphi = \arctan\!\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4} = 45°\]

\[1 + i = \sqrt{2} \cdot e^{i\pi/4}\]

Schritt 2: De Moivre anwenden

Formel von De Moivre: \((r \cdot e^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{in\varphi}\)

\[(1+i)^8 = (\sqrt{2})^8 \cdot e^{i \cdot 8 \cdot \pi/4}\]

Schritt 3: Betrag berechnen

\[(\sqrt{2})^8 = (2^{1/2})^8 = 2^{8/2} = 2^4 = 16\]

Schritt 4: Argument berechnen

\[8 \cdot \frac{\pi}{4} = 2\pi\]

\[e^{i \cdot 2\pi} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + 0i = 1\]

Nach einer vollen Umdrehung (360°) landen wir wieder auf der reellen Achse!

Zusammenfassung

\[(1+i)^8 = 16 \cdot 1 = 16\]

Das Ergebnis ist eine reelle Zahl!

Ergebnis
\((1+i)^8 = 16\)
Re Im 1+i r=√2, 45° (1+i)² = 2i r=2, 90° (1+i)&sup4; = -4 r=4, 180° (1+i)&sup8; = 16 r=16, 360°=0° Spirale der Potenzen: n=1: r=√2, φ=45° n=2: r=2, φ=90° n=4: r=4, φ=180° n=8: r=16, φ=360° (zurueck auf der reellen Achse!)
Potenzen von (1+i): Die Spirale zeigt, wie Betrag und Winkel mit jeder Potenz wachsen — nach 8 Schritten landet man zurueck auf der reellen Achse bei 16.