Tag 5: Übungen für den Unterricht
Hypothesentests III (Binomialtest, t-Tests, Chi-Quadrat), Korrelation und einfache lineare Regression sowie alles in R. Bearbeiten Sie jede Teilaufgabe zuerst von Hand, öffnen Sie dann die Lösung zur Kontrolle und führen Sie den R-Befehl zur Bestätigung aus. Alle Zahlen wurden mit scipy geprüft.
Ein Anbieter behauptet, ein Handelssignal sei häufiger als der Zufall korrekt. In $n = 20$ unabhängigen Trades war das Signal $14$-mal korrekt. Testen Sie $H_0: p = 0.5$ gegen $H_1: p > 0.5$ zum Niveau $\alpha = 0.05$.
- Geben Sie die Teststatistik (Anzahl Erfolge) und den Stichprobenanteil $\hat{p}$ an.
- Berechnen Sie den exakten einseitigen $p$-Wert $P(X \ge 14 \mid p = 0.5)$.
- Nennen Sie die Entscheidung und interpretieren Sie sie in Worten.
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(a) Erfolge $X = 14$, $\hat{p} = 14/20 = 0.70$. Unter $H_0$ gilt $X \sim \text{Binomial}(20, 0.5)$.
(b) $p\text{-Wert} = P(X \ge 14) = \sum_{k=14}^{20} \binom{20}{k} 0.5^{20} = 0.0577$.
(c) Da $0.0577 > 0.05$, $H_0$ nicht ablehnen. Trotz einer Trefferquote von 70% sind 20 Trades zu wenige, um den Zufall auf dem 5%-Niveau auszuschliessen (ein Grenzfall: zum Niveau $\alpha = 0.10$ wäre er signifikant).
Ein Kreditportfolio ist auf eine Ausfallrate von höchstens $5\%$ ausgelegt. In einer Stichprobe von $n = 80$ Krediten fielen $8$ aus. Testen Sie $H_0: p = 0.05$ gegen $H_1: p > 0.05$ zum Niveau $\alpha = 0.05$.
- Berechnen Sie $\hat{p}$.
- Berechnen Sie den exakten einseitigen $p$-Wert $P(X \ge 8 \mid p = 0.05)$.
- Entscheidung und Interpretation für das Risiko-Team.
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(a) $\hat{p} = 8/80 = 0.10$, doppelt so hoch wie die angesetzte Rate.
(b) $X \sim \text{Binomial}(80, 0.05)$, $p\text{-Wert} = P(X \ge 8) = 0.0466$.
(c) Da $0.0466 < 0.05$, $H_0$ ablehnen: es gibt (knapp) signifikante Evidenz, dass die wahre Ausfallrate 5% übersteigt. Beachten Sie, wie nahe dies an der Schwelle liegt, siehe E3.
Mit den Werten aus E2 ($n = 80$, $\hat{p} = 0.10$, $p_0 = 0.05$) verwenden manche die Normalapproximation $z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$.
- Prüfen Sie die Faustregel $n p_0 \ge 5$ und $n(1-p_0) \ge 5$. Ist die Approximation hier zulässig?
- Berechnen Sie $z$ und den approximativen einseitigen $p$-Wert.
- Vergleichen Sie mit dem exakten $p$-Wert aus E2 und nennen Sie, welchen Sie berichten würden.
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(a) $n p_0 = 80 \times 0.05 = 4 < 5$. Die erwartete Anzahl Erfolge ist zu klein, also ist die Normalapproximation nicht zulässig.
(b) $z = \dfrac{0.10 - 0.05}{\sqrt{0.05 \times 0.95 / 80}} = \dfrac{0.05}{0.02437} = 2.052$, also approximativer $p$-Wert $= 1 - \Phi(2.052) = 0.0201$.
(c) Die Approximation ($0.0201$) ist deutlich kleiner als der exakte Wert ($0.0466$); sie überschätzt die Signifikanz nahe der Schwelle. Bei $np_0 < 5$ berichten Sie den exakten Binomialtest.
Ein Fonds strebt eine durchschnittliche Monatsrendite von $1.0\%$ an. Zehn aktuelle Monatsrenditen (%) lauten:
$1.2,\ 0.8,\ 1.5,\ 0.9,\ 1.1,\ 1.4,\ 0.7,\ 1.3,\ 1.0,\ 1.6$
Testen Sie $H_0: \mu = 1.0$ gegen $H_1: \mu \ne 1.0$ zum Niveau $\alpha = 0.05$.
- Berechnen Sie $\bar{x}$ und die Stichprobenstandardabweichung $s$.
- Berechnen Sie $t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$ und die Freiheitsgrade.
- Entscheidung und ein 95%-Konfidenzintervall für $\mu$.
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(a) $\bar{x} = 1.150$, $s = 0.3028$ (mit $n - 1 = 9$).
(b) $t = \dfrac{1.150 - 1.0}{0.3028/\sqrt{10}} = 1.567$ bei $\text{df} = 9$. Zweiseitiger $p$-Wert $= 0.1516$.
(c) Da $0.1516 > 0.05$, $H_0$ nicht ablehnen. 95%-KI für $\mu$: $1.150 \pm 2.262 \times 0.0958 = [0.933,\ 1.367]$, enthält $1.0$, im Einklang mit der Entscheidung.
Ein Handelstisch passt seinen Ausführungsalgorithmus an und erfasst die Tagesrendite (%) von 8 Anlagen vorher und nachher:
| Anlage | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Vorher | 4.1 | 5.2 | 3.8 | 6.0 | 4.5 | 5.5 | 3.9 | 4.8 |
| Nachher | 4.6 | 5.0 | 4.5 | 6.4 | 5.2 | 5.7 | 4.6 | 5.3 |
Testen Sie, ob die Änderung die Renditen verbessert hat ($H_0: \mu_d = 0$ gegen $H_1: \mu_d \ne 0$, mit $d = $ Nachher $-$ Vorher).
- Bilden Sie die Differenzen und berechnen Sie $\bar{d}$ und $s_d$.
- Berechnen Sie $t = \dfrac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}}$, die Freiheitsgrade und die Entscheidung.
- Geben Sie ein 95%-KI für die mittlere Verbesserung an.
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(a) $d = 0.5, -0.2, 0.7, 0.4, 0.7, 0.2, 0.7, 0.5$. $\bar{d} = 0.4375$, $s_d = 0.3114$.
(b) $t = \dfrac{0.4375}{0.3114/\sqrt{8}} = 3.974$ bei $\text{df} = 7$, $p = 0.0054$. Da $p < 0.05$, $H_0$ ablehnen: die Änderung hat die Renditen signifikant verbessert.
(c) 95%-KI für $\mu_d$: $0.4375 \pm 2.365 \times 0.1101 = [0.177,\ 0.698]$ (enthält 0 nicht).
Zwei Fonds berichten Monatsrenditen (%). Fonds A: $8.2, 7.5, 9.1, 8.8, 7.9, 8.5$. Fonds B: $6.9, 7.2, 6.5, 7.8, 6.7, 7.1$. Unter der Annahme gleicher Varianzen testen Sie $H_0: \mu_A = \mu_B$ gegen $H_1: \mu_A \ne \mu_B$.
- Berechnen Sie die Gruppenmittelwerte und die gepoolte Standardabweichung $s_p$.
- Berechnen Sie $t = \dfrac{\bar{x}_A - \bar{x}_B}{s_p\sqrt{1/n_A + 1/n_B}}$, die Freiheitsgrade und die Entscheidung.
- Wann würden Sie stattdessen den Welch-Test verwenden?
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(a) $\bar{x}_A = 8.333$, $\bar{x}_B = 7.033$. $s_p = \sqrt{\dfrac{(n_A-1)s_A^2 + (n_B-1)s_B^2}{n_A + n_B - 2}} = 0.526$.
(b) $t = \dfrac{8.333 - 7.033}{0.526\sqrt{1/6 + 1/6}} = 4.281$ bei $\text{df} = 10$, $p = 0.0016$. $H_0$ ablehnen: die mittleren Renditen der Fonds unterscheiden sich.
(c) Den Welch-Test (var.equal = FALSE, der R-Standard) verwendet man, wenn sich die Varianzen der Gruppen deutlich unterscheiden, besonders bei ungleichen Stichprobengrössen.
Nennen Sie für jedes Szenario den einen am besten geeigneten Tag-5-Test (Binomialtest, Einstichproben-t, Zweistichproben-t, gepaarter t, $\chi^2$-Anpassungstest oder $\chi^2$-Unabhängigkeitstest).
- Ist ein "Kaufsignal" über 30 Trades in mehr als 50% der Fälle korrekt?
- Unterscheidet sich die mittlere Tagesrendite einer Aktie von null?
- Haben zwei unabhängige Kundengruppen dieselbe mittlere Portfoliogrösse?
- Haben sich die Risikowerte der Kunden nach einem persönlichen Beratungsgespräch geändert (dieselben Kunden, vorher/nachher)?
- Sind die Handelsvolumina gleichmässig über die fünf Wochentage verteilt?
- Hängt der Sektor (Tech/Finanz/Energie) damit zusammen, ob eine Aktie gestiegen oder gefallen ist?
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(a) Binomialtest. (b) Einstichproben-t-Test. (c) Zweistichproben-t-Test (unabhängig). (d) Gepaarter t-Test (dieselben Personen zweimal gemessen). (e) $\chi^2$-Anpassungstest (eine kategoriale Variable gegen eine gleichmässige Erwartung). (f) $\chi^2$-Unabhängigkeitstest (zwei kategoriale Variablen in einer Kontingenztafel).
In einer Woche betrug die Anzahl Trades pro Wochentag: Mo $22$, Di $18$, Mi $20$, Do $25$, Fr $15$ (insgesamt $100$). Testen Sie zum Niveau $\alpha = 0.05$, ob die Trades gleichmässig über die fünf Tage verteilt sind.
- Geben Sie die erwartete Häufigkeit pro Tag unter $H_0$ an.
- Berechnen Sie $\chi^2 = \sum \dfrac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ und die Freiheitsgrade.
- Entscheidung und Interpretation.
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(a) Bei Gleichverteilung gilt $E_i = 100/5 = 20$ pro Tag.
(b) $\chi^2 = \dfrac{2^2 + 2^2 + 0^2 + 5^2 + 5^2}{20} = \dfrac{58}{20} = 2.900$ bei $\text{df} = k - 1 = 4$. $p = 0.5747$.
(c) Da $0.5747 > 0.05$, $H_0$ nicht ablehnen: keine Evidenz, dass die Trades von einem gleichmässigen Wochentagsmuster abweichen.
Eine Stichprobe von Aktien ist nach Sektor und danach klassifiziert, ob der Kurs am Tag gestiegen oder gefallen ist:
| Auf | Ab | |
|---|---|---|
| Tech | 30 | 10 |
| Finanz | 20 | 20 |
| Energie | 15 | 25 |
Testen Sie $H_0$: Sektor und Richtung sind unabhängig, zum Niveau $\alpha = 0.05$.
- Berechnen Sie die erwartete Häufigkeit der Zelle Tech/Auf.
- Geben Sie die Freiheitsgrade an.
- Gegeben $\chi^2 = 11.748$, nennen Sie die Entscheidung und interpretieren Sie.
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(a) Zeilensumme (Tech) $= 40$, Spaltensumme (Auf) $= 65$, Gesamtsumme $= 120$. $E_{\text{Tech,Auf}} = \dfrac{40 \times 65}{120} = 21.67$.
(b) $\text{df} = (r-1)(c-1) = (3-1)(2-1) = 2$.
(c) $\chi^2 = 11.748$ bei 2 df ergibt $p = 0.0028 < 0.05$, also $H_0$ ablehnen: die Richtung hängt vom Sektor ab (Tech tendiert nach oben, Energie nach unten).
Die Chi-Quadrat-Approximation setzt hinreichend grosse erwartete Häufigkeiten voraus.
- Nennen Sie die übliche Faustregel für erwartete Zellhäufigkeiten.
- In E9 beträgt die kleinste erwartete Häufigkeit $18.33$. Ist die Voraussetzung erfüllt?
- Was würden Sie tun, wenn mehrere erwartete Häufigkeiten unter der Schwelle lägen?
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(a) Alle erwarteten Häufigkeiten sollten $\ge 5$ sein (und keine $= 0$); manche Lehrbücher erlauben, dass bis zu 20% der Zellen zwischen 1 und 5 liegen.
(b) Ja: die kleinste erwartete Häufigkeit ($18.33$) übersteigt 5 deutlich, also ist die Chi-Quadrat-Approximation hier zuverlässig.
(c) Dünn besetzte Kategorien zusammenfassen, mehr Daten erheben oder eine exakte Alternative verwenden (Fishers exakter Test für eine Kontingenztafel).
Renditen (%) zweier Anlagen über sechs Perioden:
| $x$ (A) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ (B) | 3 | 5 | 4 | 8 | 9 | 11 |
- Berechnen Sie die Stichprobenkovarianz $\text{Cov}(x,y) = \dfrac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$.
- Berechnen Sie den Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten $r = \dfrac{\text{Cov}(x,y)}{s_x s_y}$.
- Interpretieren Sie Vorzeichen und Stärke.
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(a) $\bar{x} = 7$, $\bar{y} = 6.667$. $\text{Cov}(x,y) = 11.200$.
(b) $r = 0.9529$.
(c) Starke positive lineare Beziehung: die beiden Anlagen bewegen sich tendenziell gemeinsam (relevant für die Diversifikation, ein hohes $r$ bedeutet wenig Diversifikationsnutzen).
Ein Risikofaktor $x$ und ein Verlustmass $y$ sind durch $y = x^2$ verbunden:
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 |
- Die Pearson-Korrelation ist $r = 0.9789$. Warum ist sie nicht genau 1, obwohl $y$ eine Funktion von $x$ ist?
- Berechnen Sie den Spearman-Rangkorrelationskoeffizienten $\rho$.
- Welcher Koeffizient erfasst diese Beziehung besser, und warum?
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(a) Pearson misst lineare Zusammenhänge. Die Beziehung ist gekrümmt (quadratisch), also ist $r < 1$, obwohl es ein perfekter funktionaler Zusammenhang ist.
(b) Sowohl $x$ als auch $y$ sind streng monoton wachsend, also sind ihre Ränge identisch: $\rho = 1.0000$.
(c) Spearman, weil er monotone Zusammenhänge über Ränge misst und daher robust gegenüber Nichtlinearität (und Ausreissern) ist.
Sechs $(x,y)$-Beobachtungen: $(1,2), (2,5), (3,1), (4,4), (5,3)$ und ein Extrempunkt $(15,15)$.
- Warum sollten Sie die Daten immer plotten, bevor Sie eine Korrelation berichten?
- Die Pearson-Korrelation aller sechs Punkte ist $r = 0.9308$. Nach Entfernen von $(15,15)$ ist sie $r = 0.1000$. Was sagt Ihnen das?
- Was ist hier eine robustere Alternative?
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(a) Ein einzelner Punkt mit hohem Hebel kann eine Korrelation erzeugen oder zerstören; ein Streudiagramm zeigt ihn sofort, eine einzelne Zahl nicht.
(b) Die "starke" Korrelation ist vollständig ein Artefakt eines Ausreissers. Die ersten fünf Punkte sind praktisch unkorreliert ($r \approx 0.10$); allein der Ausreisser treibt $r$ auf $0.93$.
(c) Der Spearman-Rangkorrelationskoeffizient (weniger empfindlich gegenüber Extremwerten), nachdem geprüft wurde, ob der Ausreisser ein Datenfehler oder eine echte Beobachtung ist.
Marktüberrendite $x$ (%) und Überrendite einer Aktie $y$ (%) über fünf Perioden:
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | -3 | -1 | 0 | 2 | 4 |
Passen Sie $y = a + b x$ mit der Methode der kleinsten Quadrate an (die Steigung $b$ ist das Beta der Aktie).
- Berechnen Sie $S_{xx} = \sum (x_i-\bar{x})^2$ und $S_{xy} = \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$.
- Berechnen Sie die Steigung $b = S_{xy}/S_{xx}$ und den Achsenabschnitt $a = \bar{y} - b\bar{x}$.
- Berechnen Sie $R^2$ und interpretieren Sie die Steigung.
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(a) $\bar{x} = 0$, $\bar{y} = 0.4$. $S_{xx} = 4+1+0+1+4 = 10$, $S_{xy} = 6+1+0+2+8 = 17$.
(b) $b = 17/10 = 1.700$, $a = 0.4 - 1.7(0) = 0.400$.
(c) $R^2 = 0.9897$: rund 99% der Variation der Aktienüberrendite wird durch den Markt erklärt. Das Beta von $1.7$ bedeutet, dass die Aktie aggressiv ist, sie bewegt sich um etwa 1.7% je 1% Marktbewegung.
Nach dem Anpassen einer Regression plotten Sie die Residuen gegen die angepassten Werte. Geben Sie für jedes Muster an, was es bedeutet, und eine mögliche Abhilfe.
- Ein zufälliges, horizontales Band von Punkten um 0.
- Eine Trichterform (die Streuung wächst mit dem angepassten Wert).
- Eine deutliche U-Form oder Krümmung.
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(a) Die Annahmen sehen gut aus: konstante Varianz und Linearität, keine Massnahme nötig.
(b) Heteroskedastizität (nicht konstante Varianz). Abhilfe: $y$ transformieren (z. B. log), gewichtete kleinste Quadrate oder robuste Standardfehler verwenden.
(c) Nichtlinearität, das Geradenmodell ist fehlspezifiziert. Abhilfe: einen Polynomterm hinzufügen, eine Variable transformieren oder ein nichtlineares Modell verwenden.
Ein Normal-Q-Q-Plot der Residuen prüft die Normalverteilungsannahme. Interpretieren Sie jedes Muster.
- Die Punkte liegen nahe an der 45-Grad-Referenzlinie.
- Die Punkte weichen am linken Ende unterhalb und am rechten Ende oberhalb der Linie ab (eine S-Form, die an beiden Enden ausbricht).
- Eine ausgeprägte Krümmung über den ganzen Plot.
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(a) Die Residuen sind näherungsweise normalverteilt, die Annahme gilt.
(b) Schwere Ränder (mehr Extremwerte als bei einer Normalverteilung): beide Enden weichen von der Linie ab. Auf Normalität gestützte Inferenz kann das Tail-Risiko unterschätzen.
(c) Schiefe: eine systematische Krümmung deutet auf eine asymmetrische Residuenverteilung hin (rechtsschief, wenn sie nach oben krümmt). Erwägen Sie, $y$ zu transformieren.
- Wie lauten die beiden Gruppenmittelwerte und die geschätzte Differenz?
- Wie lautet die Entscheidung zum Niveau $\alpha = 0.05$?
- Warum stimmt die Schlussfolgerung mit dem Konfidenzintervall überein?
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(a) Mittelwerte $8.333$ und $7.033$; geschätzte Differenz $\approx 1.300$.
(b) $p = 0.00161 < 0.05$, also $H_0$ ablehnen: die Mittelwerte unterscheiden sich.
(c) Das 95%-KI für die Differenz $[0.6234,\ 1.9766]$ enthält 0 nicht, was gleichbedeutend mit der Ablehnung von $H_0$ zum 5%-Niveau ist.
- Schreiben Sie die angepasste Gleichung auf.
- Ist die Steigung zum Niveau $\alpha = 0.05$ signifikant? Ist es der Achsenabschnitt?
- Welchen Anteil der Variation von $y$ erklärt das Modell?
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(a) $\hat{y} = 0.400 + 1.700\,x$.
(b) Steigung: $p = 0.00044 < 0.05$, signifikant. Achsenabschnitt: $p = 0.0663 > 0.05$, nicht signifikant (im Einklang mit einem CAPM-Alpha, das nicht von 0 unterscheidbar ist).
(c) $R^2 = 0.9897$, rund 99% der Variation von $y$ werden erklärt.
- Wie viele Zeilen und Spalten hatte die Tafel (aus den Freiheitsgraden)?
- Nennen Sie die Entscheidung zum Niveau $\alpha = 0.05$ und was sie für die beiden Variablen bedeutet.
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(a) $\text{df} = (r-1)(c-1) = 2$. Bei 2 Spalten ($c = 2$) gilt $r - 1 = 2$, also $r = 3$ Zeilen: eine $3 \times 2$-Tafel.
(b) $p = 0.0028 < 0.05$, Unabhängigkeit ablehnen: die beiden kategorialen Variablen sind assoziiert.
- Berichten Sie für den Pearson-Test die Korrelation und ob sie zum Niveau $\alpha = 0.05$ signifikant ist.
- Die Spearman-Ausgabe zeigt $\rho = 1$. Was sagt das über die Beziehung aus?
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(a) $r = 0.953$, $p = 0.0033 < 0.05$, signifikante positive lineare Korrelation.
(b) $\rho = 1$ bedeutet eine perfekte monotone Beziehung: wenn $x$ wächst, wächst auch $y$ stets (hier exakt, da $y = x^2$ über den abgetasteten Bereich wachsend ist).