Eine Baeckerei moechte ihren Gewinn maximieren. Sie kann zwei Produkte herstellen:
| Ecke | \(x_1\) | \(x_2\) | Z |
|---|---|---|---|
| (0, 0) | 0 | 0 | 0 EUR |
| (4, 0) | 4 | 0 | 12 EUR |
| (8/3, 8/3) | 2.67 | 2.67 | 21.33 EUR |
| (0, 4) | 0 | 4 | 20 EUR |
Status: Ecke (0, 0)
| BV | \(x_1\) | \(x_2\) | \(s_1\) | \(s_2\) | RHS |
|---|---|---|---|---|---|
| \(s_1\) | 2 | 1 | 1 | 0 | 8 |
| \(s_2\) | 1 | 2 | 0 | 1 | 8 |
| Z | −3 | −5 | 0 | 0 | 0 |
Die Basisvariablen (BV) sind \(s_1\) und \(s_2\) — die Schlupfvariablen. Sie messen, wie viel von jeder Ressource noch uebrig ist.
| BV | \(x_1\) | \(x_2\) | \(s_1\) | \(s_2\) | RHS |
|---|---|---|---|---|---|
| \(s_1\) | 2 | 1 | 1 | 0 | 8 |
| \(s_2\) | 1 | 2 | 0 | 1 | 8 |
| Z | −3 | −5 | 0 | 0 | 0 |
−3 bei \(x_1\) heisst: „Pro Brot 3 EUR Gewinn“
−5 bei \(x_2\) heisst: „Pro Kuchen 5 EUR Gewinn“
Wir waehlen die NEGATIVSTE Zahl: −5 → Kuchen (\(x_2\))
Das ist die Pivotspalte (blau markiert).
| BV | \(x_1\) | \(x_2\) | \(s_1\) | \(s_2\) | RHS | Quotient |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(s_1\) | 2 | 1 | 1 | 0 | 8 | 8/1 = 8 |
| \(s_2\) | 1 | 2 | 0 | 1 | 8 | 8/2 = 4 ← MIN |
| Z | −3 | −5 | 0 | 0 | 0 |
Das Pivot-Element ist die 2 — am Schnittpunkt der blauen Spalte (\(x_2\)) und der orangen Zeile (\(s_2\)).
Status: Ecke (0, 4)
| BV | \(x_1\) | \(x_2\) | \(s_1\) | \(s_2\) | RHS |
|---|---|---|---|---|---|
| \(s_1\) | 3/2 | 0 | 1 | −1/2 | 4 |
| \(x_2\) | 1/2 | 1 | 0 | 1/2 | 4 |
| Z | −1/2 | 0 | 0 | 5/2 | 20 |
| BV | \(x_1\) | \(x_2\) | \(s_1\) | \(s_2\) | RHS | Quotient |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(s_1\) | 3/2 | 0 | 1 | −1/2 | 4 | 4/(3/2) = 8/3 ← MIN |
| \(x_2\) | 1/2 | 1 | 0 | 1/2 | 4 | 4/(1/2) = 8 |
| Z | −1/2 | 0 | 0 | 5/2 | 20 |
Was passiert hier genau? Wir sind bei Ecke (0, 4): Null Brote, 4 Kuchen, Gewinn = 20 EUR.
Die Z-Zeile zeigt \(-\frac{1}{2}\) bei \(x_1\). Das heisst: Jedes zusaetzliche Brot wuerde den Gewinn um 0.50 EUR erhoehen. Aber Achtung -- ein Brot braucht Ressourcen, die gerade woanders gebunden sind!
- Ein Brot braucht 2 kg Mehl und 1 Std Zeit
- Aber die Zeit ist bereits komplett aufgebraucht (s₂ = 0)!
- Um Zeit fuer ein Brot freizumachen, muessen wir Kuchen reduzieren
- Genauer: Ein halber Kuchen weniger gibt 1 Stunde frei (1 Kuchen = 2 Std)
- Netto-Effekt: +3 EUR (Brot) - 2.50 EUR (halber Kuchen weniger) = +0.50 EUR
Sie sagt: «Netto, nach Beruecksichtigung aller Tauscheffekte, bringt ein zusaetzliches Brot noch 0.50 EUR mehr Gewinn.» Das ist der reduzierte Deckungsbeitrag (reduced cost) -- der wahre Gewinn nach Abzug der Opportunitaetskosten.
Jedes Brot verbraucht effektiv \(\frac{3}{2}\) Einheiten der verbleibenden Mehl-Reserve (nach Beruecksichtigung des Kuchen-Tauschs). Wir haben noch \(s_1 = 4\) Einheiten Mehl-Reserve.
\(\text{Max. Brote} = \frac{4}{3/2} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\)
Bei 2.67 Broten ist das Mehl komplett aufgebraucht. Gleichzeitig sinkt die Kuchenzahl von 4 auf \(4 - \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\).
Neues Ergebnis: 8/3 Brote + 8/3 Kuchen = Gewinn von 64/3 ≈ 21.33 EUR
Der Simplex macht diesen Tausch automatisch durch das Pivotieren. Was hier in Worten erklaert wurde, steckt in den Zeilenoperationen der Tabelle. Die Z-Zeile ist die «Gewinnverbesserungs-Anzeige» -- solange negative Zahlen drin stehen, lohnt sich ein Tausch!
Status: OPTIMUM (8/3, 8/3)
| BV | \(x_1\) | \(x_2\) | \(s_1\) | \(s_2\) | RHS |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x_1\) | 1 | 0 | 2/3 | −1/3 | 8/3 |
| \(x_2\) | 0 | 1 | −1/3 | 2/3 | 8/3 |
| Z | 0 | 0 | 1/3 | 7/3 | 64/3 |
Bonus: Die Werte \(1/3\) und \(7/3\) in der Z-Zeile sind die Schattenpreise: Ein zusaetzliches kg Mehl waere 0.33 EUR wert, eine zusaetzliche Stunde Zeit sogar 2.33 EUR!
Hinter der Mathematik stecken einfache oekonomische Entscheidungen:
- Starte bei Null: Produziere nichts. Alle Schlupfvariablen sind maximal — alle Ressourcen sind noch da.
-
„Welches Produkt bringt den hoechsten Deckungsbeitrag?“
Schaue in die Z-Zeile: Die negativste Zahl zeigt das profitabelste Produkt. Das ist die Pivotspalte. -
„Wie viel kann ich davon maximal produzieren?“
Berechne die Quotienten RHS / Pivotspalte. Der kleinste Quotient zeigt den Engpass. Das ist die Pivotzeile. - Produziere! Pivotieren = Tabelle umrechnen. Ein neues Produkt kommt in die Basis, die engpass-Ressource geht raus.
- Wiederhole, bis nichts mehr den Gewinn verbessert: Keine negativen Zahlen in der Z-Zeile → OPTIMUM erreicht!
| Pivotspalte | negativste Zahl in Z-Zeile |
| Pivotzeile | kleinster Quotient |
| Pivot-Element | Kreuzung Spalte × Zeile |
| Pivotieren | Gauss-Elimination |
| Optimalitaet | alle Z-Zeile ≥ 0 |
| Pivotspalte | profitabelstes Produkt |
| Pivotzeile | knappe Ressource (Engpass) |
| Pivot-Element | Verbrauch des Engpasses |
| Pivotieren | Produktionsmix anpassen |
| Optimalitaet | nichts lohnt sich mehr |
Die Mathematik (Pivotieren, Gauss) ist nur das Werkzeug — die Logik dahinter ist reine oekonomische Entscheidungsfindung.