1. Ableitung (Differentialrechnung)
- Potenzregel: \(f(x) = x^n \;\Rightarrow\; f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)
- Summenregel: \((f+g)' = f' + g'\)
- Konstantenregel: \((c \cdot f)' = c \cdot f'\)
- Beispiel: \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \;\Rightarrow\; f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\)
2. Extremstellen (Maximum / Minimum)
- Kritische Punkte: \(f'(x) = 0\) loesen
- \(f''(x) < 0\) → Maximum (Kurve kruemmt sich nach unten)
- \(f''(x) > 0\) → Minimum (Kurve kruemmt sich nach oben)
- Wendepunkt: \(f''(x) = 0\)
3. Integration
- Potenzregel rueckwaerts: \(\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
- Bestimmtes Integral: \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
- Flaeche unter der Kurve = bestimmtes Integral
4. Lineare Optimierung
- Zielfunktion: \(Z = c_1 x + c_2 y\) (maximieren oder minimieren)
- Nebenbedingungen: \(a_1 x + b_1 y \le d_1\)
- Simplex-Tableau: Schlupfvariablen einfuehren, Tableau aufstellen
5. Matrizenmultiplikation
- \(A\mathbf{x}\): Zeile mal Spalte, aufaddieren
- \((2{\times}2) \cdot (2{\times}1) = (2{\times}1)\)
6. Komplexe Zahlen
- Betrag: \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
- Division: mit konjugiertem Nenner erweitern
- Konjugierte: \(\overline{a+bi} = a - bi\)
- Komplexe Leistung: \(S = U \cdot \overline{I}\)
7. Folgen und Grenzwerte
- \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{an+b}{cn+d} = \frac{a}{c}\) (hoechste Potenz kuerzen)
- Geometrische Folge: \(b_n = b_0 \cdot q^n\)
8. Finanzmathematik
- Zinseszins: \(K_n = K_0 \cdot (1+p)^n\)
- Preiselastizitaet: \(\displaystyle E(p) = \frac{p}{x(p)} \cdot x'(p)\)
9. Rotationsvolumen
- \(\displaystyle V = \int_a^b \pi \cdot [r(x)]^2\,dx\) (Rotation um die \(x\)-Achse)
10. Umsatzmaximierung
- \(R(p) = p \cdot x(p)\), dann \(R'(p) = 0\) fuer den optimalen Preis
Kontext: \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\) beschreibt den Gewinn (in Tausend Euro) eines Unternehmens.
Die Potenzregel sagt: \(x^n\) wird zu \(n \cdot x^{n-1}\). Wir wenden sie Term fuer Term an.
Erster Term: \(x^3 \;\Rightarrow\; 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2\)
Zweiter Term: \(-6x^2 \;\Rightarrow\; -6 \cdot 2 \cdot x^{2-1} = -12x\)
Dritter Term: \(9x = 9x^1 \;\Rightarrow\; 9 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 9 \cdot x^0 = 9\)
\[f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\]
Die Summenregel erlaubt es, jeden Term einzeln abzuleiten. Die Konstantenregel sagt, dass Vorfaktoren (wie die \(-6\)) einfach stehen bleiben.
\[f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 0\]
\[x^2 - 4x + 3 = 0\]
Wir suchen zwei Zahlen, die multipliziert 3 und addiert \(-4\) ergeben: \(-1\) und \(-3\).
\[x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0\]
\[x_1 = 1 \qquad x_2 = 3\]
Ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Also: \(x-1=0\) oder \(x-3=0\).
Bestimmen Sie, ob bei \(x=1\) und \(x=3\) jeweils ein Maximum oder ein Minimum vorliegt.
\[f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\]
\[f''(x) = 6x - 12\]
Bei \(x = 1\):
\[f''(1) = 6 \cdot 1 - 12 = 6 - 12 = -6\]
\(f''(1) = -6 < 0\) → Die Kurve kruemmt sich nach unten → Maximum
Bei \(x = 3\):
\[f''(3) = 6 \cdot 3 - 12 = 18 - 12 = 6\]
\(f''(3) = 6 > 0\) → Die Kurve kruemmt sich nach oben → Minimum
Die zweite Ableitung zeigt die Kruemmung. Negativ = Berg (Maximum), Positiv = Tal (Minimum). Stellt euch vor, ihr steht auf dem Punkt: Kruemmt sich der Boden nach unten, seid ihr auf einem Berg.
\[f''(x) = 6x - 12 = 0\]
\[6x = 12 \quad\Rightarrow\quad x_W = 2\]
Am Wendepunkt aendert sich die Kruemmung (von links- zu rechtsgekruemmt oder umgekehrt). Das passiert genau dort, wo die zweite Ableitung Null wird.
\[x^2 - 2x = 0\]
\[x(x - 2) = 0\]
Ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist:
\[x_1 = 0 \qquad x_2 = 2\]
Kontext: \(f(x) = x^2 - 2x\) beschreibt den Energieverbrauch.
Welche Koeffizienten muessen in die Kaestchen eingesetzt werden?
Die Funktion ist \(f(x) = x^2 - 2x = 1 \cdot x^2 + (-2) \cdot x\).
Vor \(x^2\) steht der Koeffizient \(\boxed{1}\), vor \(x\) steht \(\boxed{-2}\).
\[\int_0^2 (1 \cdot x^2 + (-2) \cdot x)\,dx\]
Potenzregel rueckwaerts anwenden:
\[\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\qquad \int (-2x)\,dx = -\frac{2x^2}{2} = -x^2\]
\[F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2\]
\[F(2) = \frac{2^3}{3} - 2^2 = \frac{8}{3} - 4 = \frac{8}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{4}{3}\]
\[F(0) = \frac{0^3}{3} - 0^2 = 0\]
\[\int_0^2 (x^2 - 2x)\,dx = F(2) - F(0) = -\frac{4}{3} - 0 = -\frac{4}{3} \approx -1{,}33\]
Die Funktion \(x^2 - 2x\) liegt im Intervall \([0, 2]\) unterhalb der x-Achse (ausser an den Raendern). Daher ist die "Flaeche" negativ — das Integral misst eine vorzeichenbehaftete Flaeche.
Kontext: Ein Rechteck im ersten Quadranten wird unter der Kurve \(y = 12 - x^2\) eingeschrieben. Gesucht ist die maximale Flaeche.
Das Rechteck hat eine Ecke im Ursprung und die gegenueberliegende auf der Kurve.
Breite = \(x\) (Abstand vom Ursprung nach rechts)
Hoehe = \(y = 12 - x^2\) (Wert der Kurve bei \(x\))
\[A(x) = x \cdot (12 - x^2)\]
\[A(x) = 12x - x^3\]
\(A(x) = 12x - x^3\)
Erster Term: \(12x \;\Rightarrow\; 12\)
Zweiter Term: \(-x^3 \;\Rightarrow\; -3x^2\)
\[A'(x) = 12 - 3x^2\]
Koeffizient fuer den konstanten Term: \(12\). Koeffizient fuer \(x^2\): \(-3\).
\[12 - 3x^2 = 0\]
\[3x^2 = 12 \quad\Rightarrow\quad x^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad x = \pm 2\]
Da wir im ersten Quadranten sind (\(x > 0\)), gilt: \(x = 2\).
\[A(2) = 12 \cdot 2 - 2^3\]
\[A(2) = 24 - 8 = 16\]
Kontext: Ein LKW transportiert zwei Gueter G1 und G2. Wert pro Einheit: G1 = 3, G2 = 2.
G1 hat den Wert 3 pro Einheit, G2 hat den Wert 2 pro Einheit.
Der Gesamtwert ist die Summe der einzelnen Werte:
\[Z = 3x + 2y \quad\text{(maximieren)}\]
• Gewichtsgrenze: G1 wiegt 2 kg, G2 wiegt 3 kg, maximal 20 kg
• Volumengrenze: G1 braucht 2 Liter, G2 braucht 1 Liter, maximal 12 Liter
• Nichtnegativitaet
\(x\) Einheiten G1 wiegen \(2x\) kg, \(y\) Einheiten G2 wiegen \(3y\) kg. Zusammen maximal 20 kg:
\[2x + 3y \le 20\]
\(x\) Einheiten G1 brauchen \(2x\) Liter, \(y\) Einheiten G2 brauchen \(1y\) Liter. Zusammen maximal 12 Liter:
\[2x + y \le 12\]
Man kann keine negativen Mengen transportieren:
\[x \ge 0, \quad y \ge 0\]
Jede \(\le\)-Ungleichung wird zu einer Gleichung, indem wir eine Schlupfvariable addieren:
\[2x + 3y + s_1 = 20 \quad (s_1 \text{ = ungenutztes Gewicht})\]
\[2x + y + s_2 = 12 \quad (s_2 \text{ = ungenutztes Volumen})\]
Fuer das Tableau schreiben wir \(Z - 3x - 2y = 0\), also mit negativen Koeffizienten:
| Basis | \(x\) | \(y\) | \(s_1\) | \(s_2\) | RHS |
|---|---|---|---|---|---|
| \(s_1\) | 2 | 3 | 1 | 0 | 20 |
| \(s_2\) | 2 | 1 | 0 | 1 | 12 |
| \(Z\) | −3 | −2 | 0 | 0 | 0 |
Die Z-Zeile kommt von \(Z - 3x - 2y = 0\). Die negativen Werte zeigen, welche Variable den groessten Beitrag zur Zielfunktion liefert. Das Simplex-Verfahren waehlt die Spalte mit dem kleinsten (negativsten) Wert als Pivotspalte.
Zeile 1 (\(s_1\)): \(2x + 3y + s_1 = 20\) (Gewichtsbedingung)
Zeile 2 (\(s_2\)): \(2x + y + s_2 = 12\) (Volumenbedingung)
Zeile Z: Zielfunktion, aktueller Wert \(Z = 0\) (Startloesung: \(x=0, y=0\))
Basis: Die Variablen, die gerade ≠ 0 sind (\(s_1 = 20, s_2 = 12\))
Zeile \((2, 1)\) mal Spalte \((4, 5)^T\):
\[2 \cdot 4 + 1 \cdot 5 = 8 + 5 = 13\]
Zeile \((1, 3)\) mal Spalte \((4, 5)^T\):
\[1 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 4 + 15 = 19\]
\[A\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 13 \\ 19 \end{pmatrix}\]
Bei der Matrizenmultiplikation nimmt man immer eine Zeile der linken Matrix und eine Spalte der rechten Matrix, multipliziert elementweise und addiert alles auf. Das nennt man das Skalarprodukt.
Die Matrix \(A\) enthaelt die Verbrauchskoeffizienten (wie viel von jeder Ressource pro Einheit benoetigt wird).
Der Vektor \(\mathbf{x} = (4, 5)^T\) gibt die produzierten Mengen an.
Komponente 1 (= 13): Der Gesamtverbrauch von Ressource 1.
4 Einheiten vom ersten Produkt brauchen je 2 Einheiten + 5 Einheiten vom zweiten Produkt brauchen je 1 Einheit = 13.
Komponente 2 (= 19): Der Gesamtverbrauch von Ressource 2.
4 Einheiten vom ersten Produkt brauchen je 1 Einheit + 5 Einheiten vom zweiten Produkt brauchen je 3 Einheiten = 19.
Kontext: Impedanz \(Z = 3 + 4i\), Spannung \(U = 10\) (reell).
Betrag einer komplexen Zahl \(a + bi\): \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\[|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]
Der Betrag ist die Laenge des Vektors in der Gauss'schen Zahlenebene — genau wie Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck.
Um den Nenner reell zu machen, multiplizieren wir Zaehler und Nenner mit \(\overline{Z} = 3 - 4i\):
\[I = \frac{10}{3+4i} \cdot \frac{3-4i}{3-4i}\]
\[(3+4i)(3-4i) = 3^2 - (4i)^2 = 9 - 16i^2 = 9 - 16 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25\]
\[10 \cdot (3 - 4i) = 30 - 40i\]
\[I = \frac{30 - 40i}{25} = \frac{30}{25} - \frac{40}{25}\,i = \frac{6}{5} - \frac{8}{5}\,i = 1{,}2 - 1{,}6\,i\]
Weil \((a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2\) immer eine reelle Zahl ergibt. So wird der Nenner reell und wir koennen Real- und Imaginaerteil einfach ablesen.
Wir haben \(I = 1{,}2 - 1{,}6\,i\). Die Konjugierte entsteht durch Vorzeichenwechsel beim Imaginaerteil:
\[\overline{I} = 1{,}2 + 1{,}6\,i\]
\[S = U \cdot \overline{I} = 10 \cdot (1{,}2 + 1{,}6\,i)\]
\[S = 12 + 16\,i\]
\(\text{Re}(S) = 12\) → Wirkleistung (in Watt)
\(\text{Im}(S) = 16\) → Blindleistung (in Var)
In der Elektrotechnik wird \(S = U \cdot \overline{I}\) verwendet (nicht \(U \cdot I\)), damit der Realteil die tatsaechlich verbrauchte Leistung (Wirkleistung) ergibt und der Imaginaerteil die hin-und-her-pendelnde Leistung (Blindleistung).
Die hoechste Potenz ist \(n^1 = n\). Wir teilen Zaehler und Nenner durch \(n\):
\[\frac{4n + 3}{2n + 1} = \frac{4 + \frac{3}{n}}{2 + \frac{1}{n}}\]
Fuer \(n \to \infty\) gehen \(\frac{3}{n}\) und \(\frac{1}{n}\) gegen 0:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{n}}{2 + \frac{1}{n}} = \frac{4 + 0}{2 + 0} = \frac{4}{2} = 2\]
Faustregel: Wenn Zaehler und Nenner den gleichen Grad haben (hier: beide Grad 1), ist der Grenzwert einfach der Quotient der fuehrenden Koeffizienten: \(\frac{4}{2} = 2\).
\[b_3 = 100 \cdot (1{,}05)^3\]
\[(1{,}05)^3 = 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05\]
\[= 1{,}1025 \cdot 1{,}05 = 1{,}157625\]
\[b_3 = 100 \cdot 1{,}157625 = 115{,}7625\]
Kontext: Anfangskapital \(K_0 = 5000\) Euro, Zinssatz \(p = 4\% = 0{,}04\).
Die Zinseszinsformel lautet: \(K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n\)
\[K_n = 5000 \cdot (1 + 0{,}04)^n = 5000 \cdot (1{,}04)^n\]
Jedes Jahr behaelt man sein Kapital (Faktor 1) und bekommt \(p\) Prozent dazu (Faktor \(p\)). Nach \(n\) Jahren multipliziert sich dieser Faktor \(n\)-mal.
\[K_5 = 5000 \cdot (1{,}04)^5\]
\[(1{,}04)^2 = 1{,}0816\]
\[(1{,}04)^4 = 1{,}0816^2 = 1{,}16985856\]
\[(1{,}04)^5 = 1{,}16985856 \cdot 1{,}04 = 1{,}2166529...\]
\[K_5 = 5000 \cdot 1{,}21665... \approx 6083{,}26 \text{ Euro}\]
Kontext: Nachfragefunktion \(x(p) = 200 - 5p\).
\(x(p) = 200 - 5p\)
200 ist eine Konstante → Ableitung = 0
−5p → Ableitung = −5
\[x'(p) = -5\]
Die Nachfragefunktion ist linear. Bei einer Preiserhoehung um 1 Euro sinkt die Nachfrage um 5 Stueck — das ist die Steigung \(-5\), konstant ueberall.
\[E(p) = \frac{p}{x(p)} \cdot x'(p)\]
\[x(20) = 200 - 5 \cdot 20 = 200 - 100 = 100\]
\[E(20) = \frac{20}{100} \cdot (-5) = 0{,}2 \cdot (-5) = -1\]
\(|E| = 1\) heisst einheitselastisch: Eine 1%-ige Preiserhoehung fuehrt zu genau 1% weniger Nachfrage. Bei \(|E| > 1\) ist die Nachfrage elastisch (Nachfrage reagiert stark), bei \(|E| < 1\) unelastisch (Nachfrage reagiert kaum).
Kontext: Geschwindigkeit \(v(t) = 4t^2 - 2t\) (in m/s).
\(v(t) = 4t^2 - 2t\)
Erster Term: \(4t^2 \;\Rightarrow\; 4 \cdot 2 \cdot t^{2-1} = 8t\)
Zweiter Term: \(-2t \;\Rightarrow\; -2 \cdot 1 \cdot t^{1-1} = -2\)
\[a(t) = v'(t) = 8t - 2\]
Die Beschleunigung ist die Aenderungsrate der Geschwindigkeit — also die Ableitung von \(v(t)\). Physik: Ableitung von Weg = Geschwindigkeit, Ableitung von Geschwindigkeit = Beschleunigung.
\[\int (4t^2 - 2t)\,dt = \frac{4t^3}{3} - \frac{2t^2}{2} + C = \frac{4}{3}\,t^3 - t^2 + C\]
\[s(0) = \frac{4}{3} \cdot 0^3 - 0^2 + C = C = 0\]
Also \(C = 0\).
\[s(t) = \frac{4}{3}\,t^3 - t^2\]
Beim Integrieren geht Information ueber den Startwert verloren. Die Konstante \(C\) wird durch die Anfangsbedingung \(s(0) = 0\) bestimmt: Zum Zeitpunkt \(t = 0\) war der Weg Null.
\[s(3) = \frac{4}{3} \cdot 3^3 - 3^2 = \frac{4}{3} \cdot 27 - 9 = 36 - 9 = 27\]
\[s(0) = 0\]
\[s(3) - s(0) = 27 - 0 = 27 \text{ m}\]
\[a(2) = 8 \cdot 2 - 2 = 16 - 2 = 14\]
Kontext: Die Funktion \(r(x) = 2 - x\) wird im Intervall \([0, 2]\) um die \(x\)-Achse rotiert.
Bei Rotation um die \(x\)-Achse gilt:
\[V = \int_a^b \pi \cdot [r(x)]^2\,dx\]
Grenzen: \(a = 0\), \(b = 2\). Funktion: \(r(x) = 2 - x\).
\[V = \int_0^2 \pi \cdot (2 - x)^2\,dx\]
\[(2-x)^2 = 4 - 4x + x^2\]
Also: \(V = \pi \int_0^2 (4 - 4x + x^2)\,dx\)
Bei der Rotation entsteht an jeder Stelle \(x\) eine Kreisscheibe mit Radius \(r(x)\). Die Flaeche eines Kreises ist \(\pi r^2\). Das Integral summiert alle unendlich duennen Kreisscheiben auf.
\[\int (4 - 4x + x^2)\,dx = 4x - 2x^2 + \frac{x^3}{3}\]
\[4 \cdot 2 - 2 \cdot 2^2 + \frac{2^3}{3} = 8 - 8 + \frac{8}{3} = \frac{8}{3}\]
\[4 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2 + \frac{0^3}{3} = 0\]
\[V = \pi \cdot \left(\frac{8}{3} - 0\right) = \frac{8\pi}{3}\]
\[V = \frac{8 \cdot 3{,}14}{3} = \frac{25{,}12}{3} \approx 8{,}38\]
Kontext: Nachfragefunktion \(x(p) = 300 - 10p\).
\[R(p) = p \cdot x(p) = p \cdot (300 - 10p)\]
\[R(p) = 300p - 10p^2\]
Umsatz = Preis mal Menge. Je hoeher der Preis, desto weniger wird verkauft. Die Funktion \(R(p)\) ist eine nach unten geoeffnete Parabel — es gibt also genau ein Maximum.
\[R'(p) = 300 - 20p\]
\[300 - 20p = 0\]
\[20p = 300\]
\[p^* = \frac{300}{20} = 15\]
\[x(15) = 300 - 10 \cdot 15 = 300 - 150 = 150\]
\[R(15) = 15 \cdot 150 = 2250\]
\[R(15) = 300 \cdot 15 - 10 \cdot 15^2 = 4500 - 2250 = 2250 \;\checkmark\]
Punktestand
Maximal erreichbar: 78 Punkte
Block A: 10 · Block B: 3 · Block C: 7 · Block D: 23 · Block E: 5 · Block F: 5 · Block G: 2 · Block H: 3 · Block I: 3 · Block J: 8 · Block K: 4 · Block L: 5